Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于E．

（1）求證：點E是邊BC的中點；

（2）求證：BC2=BDBA；

（3）當(dāng)以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題（1）利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明；

（2）利用相似三角形證明；

（3）利用正方形的性質(zhì)證明．

試題解析：（1）如圖，連接OD．

∵DE為切線，

∴∠EDC+∠ODC=90°；

∵∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠OCD=90°．

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠EDC=∠ECD，

∴ED=EC；

∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，

∴∠B=∠BDE，

∴ED=BE．

∴EB=EC，即點E為邊BC的中點；

（2）∵AC為直徑，

∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，

又∵∠B=∠B

∴△ABC∽△CDB，

∴

∴BC2=BDBA；

（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時，∠OCD=45°；

∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°

∴Rt△ABC為等腰直角三角形．