Question

【題目】如圖，在四邊形中， ，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，且交于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn).

（1）求證：①；②；

（2）若，，求的度數(shù)；

（3）若，請(qǐng)你探究和之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）65°；（3），見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可；②過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠EAP=∠APQ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可；

（2）由AD∥BC，AB∥CD，可得∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可；

（3）過點(diǎn)F作FH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系解答即可．

（1）證明：①∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，

∵∠B=∠D，∴∠EAD=∠D，

∴AB∥CD；

②過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠EAP=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵∠EAP=∠EAD，∠DCP=∠ECD，

∴∠EAD+∠ECD＝∠APC；

（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，

∴∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠APC= (70°+60°)＝65°；

（3）過點(diǎn)F作FH∥AB，則∠EAD=∠AFH，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，

∴∠ECD=∠CFH，

∴∠EAD+∠ECD=∠AFH+∠CFH=∠AFC=∠EFD，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠EFD=2∠APC，

∵∠APC=m°，∠EFD=n°，

∴m＝n．