Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求證：BC2=2CDOE；
（3）若cosC= ，DE=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

連接BD，OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E是BC的中點，

∴DE=CE=BE= BC，

∴∠3=∠4，

∵OD=OB，

∴∠1=∠2，

∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴DE與⊙O相切

（2）證明：如圖2，

在直角三角形ABC中，∠C+∠A=90°，

在直角三角形BDC中，∠C+∠4=90°，

∴∠A=∠4，

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

，

∴BC2=ACCD，

∵O是AB的中點，E是BC的中點，

∴AC=2OE，

∴BC2=2CDOE

（3）解：如圖3，

由（2）知，DE= BC，又DE=4，

∴BC=8，

在直角三角形BDC中， =cosC= ，

∴CD= ，

在直角三角形ABC中， =cosC= ，

∴AC=12，

∴AD=AC﹣CD=

【解析】（1）連接BD，OD，運用直徑所對的圓周角為90°，結合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，即可求證；（2）通過證明△BCD∽△ACB，結合三角形的中位線定理即可證明；（3）在直角三角形BDC和直角三角形ABC中，運用三角函數即可求出CD和AC的值，進而求解．