Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax﹣6a交x軸于A、B兩點（A左B右），交y軸于點C，直線y=﹣x+b交拋物線于D，交x軸于E，且△ACE的面積為6．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為CD上方拋物線上一點，過點P作x軸的平行線，交直線CD于F，設P點的橫坐標為m，線段PF的長為d，求d與m的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，過點P作PG⊥CD，垂足為G，若∠APG=∠ACO，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把y=0代入y=ax2﹣5ax﹣6a得：ax2﹣5ax﹣6a=0，

∴a（x﹣6）（x+1）=0，

∴x=6或x=﹣1．

∴A（﹣1，0）、B（6、0）

把y=0代入y=﹣x+b得：﹣x+b=0，解得：x=b，把x=0代入y=x+b得：y=b，

∴OC=b，AE=b+1．

∴S△ACE= b（b+1）=6，

解得：b=3或b=﹣4（舍去）．

∴C（0，3）．

將點C的坐標代入拋物線的解析式得：﹣6a=3，解得a=﹣ ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+3．

（2）

解：∵b=3，

∴直線CE的解析式為y=﹣x+3．

設P（m，﹣ m2+ m+3）．

∵PF∥x軸，

∴點F的縱坐標為﹣ m2+ m+3．

∴﹣x+3=﹣ m2+ m+3．

∴x= m2﹣ m．

∴d=PF=m﹣（ m2﹣ m）=﹣ m2+ m．

（3）

解：如圖1所示：

∵OA=1，OC=3，

∴tan∠ACO= ．

∵∠APG=∠ACO，

∴tan∠APG= ．

如圖1所示：過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．

∵OC=OE，∠COE=90°，

∴∠CEO=45°．

又∵∠EGH=90°，

∴∠GHO=45°．

∴△AMH為等腰直角三角形．

設MH=AM=a，

∴AH= a，PH=4a．

在Rt△PHN中，PN=AN=2 a．

∴AN= a．

∴tan∠PAN=2．

設P（m，﹣ m2+ m+3），則PN=﹣ m2+ m+3，AN=m+1，即 =2，

解得：m=﹣1（舍去）或m=2．

∴P（2，6）．

如圖2所示：過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．

設AM=a，則MP=3a．

∵OC=OE，∠COE=90°，

∴∠CEO=45°．

又∵∠EGH=90°，

∴∠GHO=45°．

∴△AMH為等腰直角三角形．

設MH=AM=a，

∴AH= a，PH=2a．

在Rt△PHN中，PN=AN= a．

∴AN=2 a．

∴tan∠PAN= ．

∴ = ．解得：m=﹣1，m=5，

∴P（5，3）．

綜上所述，點P的坐標為P（2，6）或P（5，3）．

【解析】（1）把y=0代入拋物線的解析式可求得方程的解，從而可得到點A和點B的坐標，然后依據△ACE的面積為6可求得b的值，然后可得到點C的坐標，故此可得到a的值；（2）直線CE的解析式為y=﹣x+3．設P（m，﹣ m2+ m+3）．然后可求得點F的橫坐標，最后依據d=PF可得到d與m的函數關系式；（3）過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．然后證明△AMH和△PHN均為等腰直角三角形，設MH=AM=a，然后可求得PN和AN的長，故此可得到tan∠PAN=2或tan∠PAN= ，然后列出關于m的方程求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握銳角三角函數的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數)的相關知識才是答題的關鍵．