Question

【題目】已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermat point）．已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為 的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF= ．

Answer 1

【答案】 +1
【解析】解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF= ，
過點D作DM⊥EF于點M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，
則EM=DM=1，
故cos30°= ，
解得：PE=PF= = ，則PM= ，
故DP=1﹣ ，
則PD+PE+PF=2× +1﹣ = +1．
故答案為： +1．

根據題意首先畫出圖形，過點D作DM⊥EF于點M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到滿足條件的點P，根據特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的長，進而得出答案．此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關鍵．