Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．

（1）求證：∠PCA=∠ABC．

（2）過點A作AE∥PC交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=24．

【解析】（1）連接半徑OC，根據切線的性質得：OC⊥PC，由圓周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圓的半徑相等可得：∠OCB=∠ABC，從而得結論；

（2）先證明∠CAF=∠ACF，則AF=CF=10，根據cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，設OC=r，OD=r﹣8，根據勾股定理列方程可得r的值，再由三角函數cos∠EAB=，可得AE的長，從而計算BE的長.

詳解:證明：（1）連接OC，交AE于H，

∵PC是⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠ACO=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCA=∠OCB，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠ABC，

∴∠PCA=∠ABC；

（2）∵AE∥PC，

∴∠CAF=∠PCA，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ACF=∠ABC，

∵∠ABC=∠PCA，

∴∠CAF=∠ACF，

∴AF=CF=10，

∵AE∥PC，

∴∠P=∠FAD，

∴cos∠P=cos∠FAD=，

在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，

∴AD=8，

∴FD==6，

∴CD=CF+FD=16，

在Rt△OCD中，設OC=r，OD=r﹣8，

r2=（r﹣8）2+162，

r=20，

∴AB=2r=40，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，

∴AE=32，

∴BE==24．