Question

初三（1）班數學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料，將它設計成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大．
小組討論后，同學們做了以下三種試驗：

請根據以上圖案回答下列問題：
（1）在圖案（1）中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為6米，當AB為1米，長方形框架ABCD的面積是

4

3

m²；
（2）在圖案（2）中，如果鋁合金材料總長度為6米，設AB為x米，長方形框架ABCD的面積為S=

-x²+2x

（用含x的代數式表示）；當AB=

1

時米，長方形框架ABCD的面積S最大；在圖案（3）中，如果鋁合金材料總長度為l米，設AB為x米，當AB是多少米時，長方形框架ABCD的面積S最大．

Answer 1

分析：（1）求出AD的長度，即可得出長方形框架ABCD的面積．
（2）先用x表示出AD，繼而得出S的表達式，利用配方法可求出S的最大值；同理圖案（3）的最大面積也可求解．

解答：解：（1）當AB=1m時，AD=

4

3

m，S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；

（2）圖（2）中，設AB為x米，則AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
當x=1時，S取得最大值；
即當AB=1米，長方形框架ABCD的面積S最大．
圖（3）中，設AB為x米，則AD=

l-4x

3

，
S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

l

3

x=-

4

3

（x-

l

8

）²+

1

12

l²，
當x=

l

8

，長方形框架ABCD的面積S最大．
故答案為：

4

3

、-x²+2x、1．

點評：本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是表示出AD的長度，得出S關于x的表達式，注意掌握配方法求二次函數最值得應用，有一定難度．