Question

【題目】在菱形ABCD中，AC是對角線，CD=CE，連接DE，點M是線段DE的中點.

（1）如圖1，連接CM，若AC=16，CD=10，求DE的長

（2）如圖2，點F在菱形的外部，DF=DM，且∠CDA=∠FDE，連接FM交AD于點G，FM的延長線交AC于點N，求證：CN=AG.

Answer 1

【答案】（1）2（2）證明見解析

【解析】分析：(1)過D作DP⊥AC交AC于P，由菱形的性質(zhì)，勾股定理求得DP，EP的長；(2)連接AF，CM，分別用SAS證明△AFD≌△CME，ASA證明△AFG≌△MNC.

詳解：(1)如圖，

過D作DP⊥AC交AC于P，

∵DC＝AD，DP⊥AC，∴CP＝AC＝8.

又∵DC＝10，∴DP＝6.

∵EC＝DC＝10，∴AE＝6.

∴EP＝2，DE＝.

(2)連接AF，CM.

∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED.

又∵∠CDA＝∠FDE，∴∠FDA＝∠CDE＝∠CED.

在△AFD和△CME中

，

∴△AFD≌△CME.

∴∠FAD＝∠MCE，AF＝CM.

又∵FD＝DM，∴∠DFM＝∠DMF＝∠EMN.

∵∠AFD＝∠EMC，∠AFG＋∠DFM＝∠CMN＋∠EMN

∴∠AFG＝∠CMN

∴在△AFG和△MNC中

，

∴△AFG≌△MNC，∴CN＝AG.