Question

【題目】如圖一次函數的圖象與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等邊三角形ABC，

（1）求ABC的面積。

（2）如果在第二象限內有一點P（），試用含有a的代數式表示四邊形ABPO的面積，并求出當ABP的面積與ABC的面積相等時a的值。

（3）在x軸上，是否存在點M，使MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2），a=-；（3）M1（2+，0）或M2（-，0）或M3（-2，0）或M4（，0）．

【解析】

（1）由一次函數解析式可求出OA、OB的長度，在Rt△OAB中可求出AB的長度，再由等邊三角形的性質可求出△ABC的面積；（2）依題意可得出S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP，當S△ABP=S△ABC時求出a值．（3）①以AB為腰的等腰三角形有三個，②以AB為底邊的等腰三角形有1一個，分別求出點M的坐標即可．

解：（1）∵函數解析式為：y＝

∴點B坐標為（0，1），點A坐標為（，0），
∴OA=，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==2，
則等邊三角形ABC的面積為AB2=．

（2）S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP=×OA×OB+×OB×h=××1+×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S四邊形ABPO=-==，
S△ABP=SABPO-S△AOP=（-）-×OA×．
∴S△ABP=--=-=S△ABC=．
∴a=-．

（3）（2）存在點M，使△MAB為等腰三角形
①若以AB為腰，如圖所示：

當點M位于M1位置時，OM1=OA+AM1=OA+AB=2+，
此時點M1坐標為（2+，0）；
當點M位于M2位置時，OM2=OA=，
此時點M2坐標為（-，0）；
當點M位于M3位置時，OM3=AB=2，
此時點M3坐標為（-2，0）；
②若以AB為底邊，如圖所示：

作AB的中垂線交x軸于點M4，則此時△M4AB為等腰三角形，
∵OB=1，OA=，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M4N是AB的中垂線，
∴AN=1，
在Rt△ANM4中，AM4==，
則OM4=OA-AM4=，
則此時M4的坐標為（，0）．
綜上可得存在點M，使△MAB為等腰三角形，點M的坐標為：M1（2+，0）或M2（-，0）或M3（-2，0）或M4（，0）．