Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．

（1）如圖①，當 時，求 的值；
（2）如圖②當DE平分∠CDB時，求證：AF= OA；
（3）如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG= BG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴ ．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴ ，

∴ = ，

∴ = = ；

（2）

證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，

又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．

∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，

∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，

在直角△AOD中，根據勾股定理得：AD= = OA，

∴AF= OA

（3）

證明：連接OE．

∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點．

∴點O是BD的中點．

又∵點E是BC的中點，

∴OE是△BCD的中位線，

∴OE∥CD，OE= CD，

∴△OFE∽△CFD．

∴ = = ，

∴ = ．

又∵FG⊥BC，CD⊥BC，

∴FG∥CD，

∴△EGF∽△ECD，

∴ = = ．

在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．

∴CG=GF，

又∵CD=BC，

∴ = = ，

∴ = ．

∴CG= BG．

【解析】（1）利用相似三角形的性質求得EF與DF的比值，依據△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．