Question

【題目】如圖1，點M為直線AB上一動點，△PAB，△PMN都是等邊三角形，連接BN，

(1)M點如圖1的位置時，如果AM=5,求BN的長；

(2)M點在如圖2位置時，線段AB、BM、BN三者之間的數量關系__________________；

(3)M點在如圖3位置時，當BM=AB時，證明：MN⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）AB+BM=BN；（3）詳見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得：∠APB=∠MPN，PA=PB，PM=PN，然后即可利用SAS證明△PAM≌△PBN，再利用全等三角形的性質即得結論；

（2）仿（1）的方法利用SAS證明△PAM≌△PBN，可得AM=BN，進一步即得結論；

（3）根據等邊三角形的性質、等腰三角形的性質和三角形的外角性質可得∠BPM=∠PMB =30°，易知∠PMN=60°，問題即得解決．

解：（1）如圖1，∵△PAB，△PMN都是等邊三角形，

∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，

∴∠APM=∠BPN，

∴△PAM≌△PBN(SAS) ，

∴AM=BN=5，∴BN的長為5；

（2） AB+BM=BN；

理由：如圖2，∵△PAB，△PMN都是等邊三角形，

∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，

∴∠APM=∠BPN，

∴△PAM≌△PBN(SAS) ，

∴AM=BN，即AB+BM=BN；

故答案為：AB+BM=BN；

（3）證明：如圖3，∵△PAB是等邊三角形，∴AB=PB，∠ABP=60°，

∵BM=AB，∴PB=BM，∴∠BPM=∠PMB，

∵∠ABP=60°，∴∠BPM=∠PMB =30°，

∵△PMN是等邊三角形，∴∠PMN=60°，

∴∠AMN=90°，即MN⊥AB．