Question

【題目】已知：關于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根且其中一根為定值．
（2）設方程的兩個實數根分別為x1 ， x2（其中x1＜x2）．若y是關于m的函數，且y=7x1﹣mx2 ， 求這個函數的解析式；并求當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤3m．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△=（3m+2）2﹣4m（2m+2）

=m2+4m+4

=（m+2）2，

∵m＞0，

∴（m+2）2＞0，即△＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根，

∵x= ，

∴方程有一個根為1，

∴方程有兩個不相等的實數根且其中一根為定值

（2）解：∵x= ，

∴x1=1，x2=2+ ，

∴y=7x1﹣mx2

=7﹣m（2+ ）

=﹣2m+5，

當y≤3m，即﹣2m+5≤3m，

∴m≥1

【解析】（1）先計算判別式的值得到△=（m+2）2 ， 由m＞0，得到△＞0，根據判別式的意義得到方程有兩個不相等的實數根，再利用求根公式得到x= ，可得到方程有一個根為1，于是得到方程有兩個不相等的實數根且其中一根為定值．（2）解方程得到x1=1，x2=2+ ，所以y=7﹣m（2+ ）=﹣2m+5，然后解不等式﹣2m+5≤3m．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．