Question

【題目】在圓O中，C是弦AB上的一點，聯結OC并延長，交劣弧AB于點D，聯結AO、BO、AD、BD. 已知圓O的半徑長為5 ，弦AB的長為8．

（1）如圖1，當點D是弧AB的中點時，求CD的長；

（2）如圖2，設AC=x， ，求y關于x的函數解析式并寫出定義域；

（3）若四邊形AOBD是梯形，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）2（2）y=（0＜x＜8）（3）或6

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得OD⊥AB，AC=AB=4，結合AO=5，由勾股定理可得OC=3，結合OD=5可得CD=2；

（2）如下圖，過點O作OH⊥AB于點H，則由（1）可得OH=3，AH=4，結合AC=x可得CH=，在Rt△HOC中，由勾股定理可得OC=，結合即可得到所求關系式；

（3）若四邊形AOBD是梯形，則有OB∥AD或OA∥BD兩種情況，①當OB//AD時，如下圖，過點A作AE⊥OB交BO延長線于點E，過點O作OF⊥AD,垂足為點F，則OF=AE，結合S△ABO=AB·OH=OB·AE可得AE= ，然后在Rt△AOF中由勾股定理即可求得AF的長，這樣就可由垂徑定理求得AD的長了；②當OA//BD時，如下圖，過點B作BM⊥OA交AO延長線于點M，過點D作DG⊥AO，垂足為點G，則由①的方法同理可求得對應的AD的長.

試題解析：

（1）∵OD過圓心，點D是弧AB的中點，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO=，

∴CD=OD-OC=5-3=2；

（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則由（1）可得AH=4，OH=3

∵AC=x，

∴CH=，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴OC=，

∵，

∴

（3）若四邊形AOBD是梯形，則有OB∥AD或OA∥BD兩種情況，現分別討論如下：

①當OB//AD時，如下圖，過點A作AE⊥OB交BO延長線于點E，過點O作OF⊥AD,垂足為點F，則OF=AE，

∵S△ABO=AB·OH=OB·AE，

∴AE=

在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，AO=5，

∴AF=，

∵OF過圓心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=；

②當OA//BD時，如下圖，過點B作BM⊥OA交AO延長線于點M，過點D作DG⊥AO，垂足為點G，

則由①的方法同理可得AD=6；

綜上所述AD=或6.