Question

【題目】如圖，在中， ，點為邊上一點， ，且,點關于直線的對稱點為，連接，又的邊上的高為.

（1）判斷直線是否平行？并說明理由；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】(1) ,理由見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據軸對稱的性質得出PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD，再根據三角形外角的性質求出∠APC＝60°，進而求出∠BPD＝60°，由條件可得BP＝PD，取DP的中點E，易證△BPE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質和三角形外角的性質求出∠DBE＝30°，進而求出∠DBP＝90°，根據平行線的判定即可得出結論；

（2）作ΔADP的PD邊上的高為AF，又作AG⊥BD交BD的延長線于G，根據對稱性得出AF＝AH，再求得∠GBA＝45°，證明△AGB≌△AHB，得出AG＝AH＝AF，根據角平分線的判定得出AD平分∠GDP，進而求得∠GDA＝75°，再根據對稱性求得∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝15°，從而得出結論．

試題解析：

解：（1）BD//AH．

證明：∵點C關于直線PA的對稱點為D，

∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．

又∵ ∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，

∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，

∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．

∵BC＝3BP，∴BP＝PC，

∴BP＝PD；

取PD的中點E，連接BE，則PE＝PB，

∴△BPE為等邊三角形，

∴BE＝PE＝DE，

∴∠DBE＝∠BDE＝∠BEP＝30°．

∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．

又∵ AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，

∴∠DBP＝∠AHC，∴DB//AH；

（2）證明：作ΔADP的PD邊上的高為AF，又作AG⊥BD交BD的延長線于G，

由對稱性知，AF＝AH．

∵∠GBA＝∠GBC－∠ABC＝45°，

∴∠GBA＝∠HBA＝45°，

∴AG＝AH，

∴AG＝AF，

∴AD平分∠GDP，

∴∠GDA＝∠GDP＝ (180°－∠BDP) ＝75°．

∴∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝90°－∠GDA＝15°，

∵∠BAP＝15°，

∴∠BAP＝∠CAH．