Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）①全等，理由見解析；②cm/s；（2）經過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．

【解析】

（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．

②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程＝速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；

（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．

（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm．

∵AB=10cm，點D為AB的中點，∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP(SAS)．

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，

則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點P，點Q運動的時間s，

∴cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，

由題意，得x=3x+2×10，

解得：，

∴點P共運動了×3=80cm．

△ABC周長為：10+10+8=28cm，

若是運動了三圈即為：28×3=84cm．

∵84﹣80=4cm＜AB的長度，

∴點P、點Q在AB邊上相遇，

∴經過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．