Question

【題目】閱讀下列材料：

問題：如圖1，在△中，點為的中點，求證： ＜小明提供了他研究這個問題的思路：從點為的中點出發，可以構造以、為鄰邊的平行四邊形，結合平行四邊形的性質以及三角形兩邊之和大于第三邊的性質便可解決這個問題.請結合小明研究問題的思路，解決下列問題：

（1）完成上面問題的解答；

（2）如果在圖1中，∠=60°，延長到，使得，延長到，使得，連結，如圖2. 請猜想線段與線段之間的數量關系.并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=2AP，證明見解析

【解析】試題分析：（1）可通過構建平行四邊形求解；延長AP至H，使PH=AP；則AH、BC互相平分，四邊形ABHC是平行四邊形；在△ACH中，由三角形三邊關系定理知：AH<AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代換后即可證得所求的結論；

（2）可按照（1）題的思路求解；過B作AE的平行線，交DE于H，連接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，則△ADE是等邊三角形，易證得△DBH也是等邊三角形，此時DB=BH=AC，則四邊形ABHC的一組對邊平行且相等，則四邊形ABHC是平行四邊形；由此可證得P是平行四邊形ABHC對角線的交點，且AH=2AP；下面可通過證△DBE≌△DHA得出AH=DE，從而得出DE=2AP的結論；

試題解析：

(1)證明：延長AP至H，使得PH=AP，連接BH、HC，PH；

∵BP=PC；

∴四邊形ABHC是平行四邊形；

∴AB=HC；

在△ACH中，AH<HC+AC；

∴2AP<AB+AC；

即AP< (AB+AC)

(2) BE=2AP.

證明：過B作BH∥AE交DE于H，連接CH、AH；

∴∠1=∠BAC=60°；

∵DB=AC，AB=CE，

∴AD=AE,

∴△AED是等邊三角形，

∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；

∴△BDH是等邊三角形；

∴BD=DH=BH=AC；

∴四邊形ABHC是平行四邊形；

∵點P是BC的中點，

∴點P是四邊形ABHC對角線AH、BC的交點，

∴點A，P，H共線，

∴AH=2AP；

在△ADH和△EDB中, ；

∴△ADH≌△EDB；

∴AH=BE=2AP；