Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及△ACM的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y= x2+bx﹣2上，

∴ ×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2．

y= （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（ ，﹣ ）

（2）解：當(dāng)x=0時(shí)y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣ x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）解：如圖所示：連接AM，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線BC解析式為：y=kx+d，則 ，

解得： ，

故直線BC的解析式為：y= x﹣2，

當(dāng)x= 時(shí)，y=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

△ACM最小周長(zhǎng)是：AC+AM+MC=AC+BC= +2 =3 ．

【解析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出b的值；再將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）先求出拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求出當(dāng)x=0時(shí)y的值和y=0時(shí)x的值，再利用勾股定理求出AB2，AC2，BC2，再比較AC2+BC2與AB2的大小即可判斷。
（3）抓住已知條件點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且當(dāng)△ACM周長(zhǎng)最小，可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接AM，先求出直線BC的函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn),M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出BC、AC的長(zhǎng)，△ACM的最小周長(zhǎng)=BC+AC，即可求出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．