Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形性質和翻折的性質，得到AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理即可判定①正確；求出DE、CE的長，從而得到EF，設BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的長，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，從而得到BG=CG，判定②正確；再根據等邊對等角的性質得到∠GCF=∠GFC，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，從而求出∠GCF=∠AGB，根據同位角相等，兩直線平行即可證明AG∥CF，判定③正確；先求出△CEG的面積，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出△FGC的面積為，判定④錯誤．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，

∵CD=3DE，

∴DE=2，

∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，

∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴AF=AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴①正確；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，

設BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，

在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，

∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2

∴(6-x)2+42=(x+2)2

解得：x=3，

∴BG=GF=CG=3，

∴②正確；

∵CG=GF，

∴∠CFG=∠FCG，

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，

又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，

∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，

∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，

∴∠AGB=∠FCG，

∴AG∥CF，

∴③正確；

∵△CFG和△CEG中，分別把FG和GE看作底邊，

則這兩個三角形的高相同．

∴==，

∵S△CEG=×3×4=6，

∴S△FGC=×6=，

∴④錯誤；

正確的結論有3個.

故選C．