Question

【題目】綜合與探究

問題背景

在綜合實踐課上，老師讓同學們根據如下問題情境，寫出兩個教學結論：

如圖，點C在線段BD上，點E在線段AC上．∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝BC；DC＝CE，M，N分別是線段BE，AD上的點．

“興趣小組”寫出的兩個教學結論是：①△BCE≌△ACD；②當CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線時，△MCN是等腰直角三角形．

解決問題

（1）請你結合圖（1）．證明“興趣小組”所寫的兩個結論的正確性．

類比探究

受到“興趣小組”的啟發，“實踐小組”的同學們寫出如下結論：如圖（2），當∠BCM＝∠ACN時，△MCN是等腰直角三角形．

（2）“實踐小組”所寫的結論是否正確？請說明理由．

感悟發現

“奮進小組”認為：當點M，N分別是BE，AD的三等分點時，△MCN仍然是等腰直角三角形請你思考：

（3）“奮進小組”所提結論是否正確？答：　 　（填“正確”、“不正確”或“不一定正確”．）

（4）反思上面的探究過程，請你添加適當的條作，再寫出使得△MCN是等腰直角三角形的數學結論．（所寫結論必須正確，寫出1個即可，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）實踐小組”所寫的結論正確，理由見解析；（3）不一定準確，理由見解析；（4）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）由△BCE≌△ACD，推出BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，因為BM＝BE，AN＝AD，推出BM＝AN，再證明△BCM≌△ACN，即可解決問題；

（2）實踐小組”所寫的結論正確．只要證明△BCM≌△ACN（ASA），即可解決問題；

（3）“奮進小組”認為：當點M，N分別是BE，AD的三等分點時，△MCN仍然是等腰直角三角形．這個結論不一定準確，分兩種情形說明即可；

（4）答案不唯一．比如：當CM，CN分別是△BCE，△ACD的高時，△MCN是等腰直角三角形；當CM，CN分別是△BCE，△ACD的角平分線時，△MCN是等腰直角三角形.

（1）在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，

∵CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線，

∴BM＝BE，AN＝AD，

∴BM＝AN，

在△BCM和△ACN，

，

∴△BCM≌△ACN（SAS），

∴CM＝CN，∠BCM＝∠ACN，

∵∠BCM+∠MCE＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（2）實踐小組”所寫的結論正確．

理由：∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC＝∠DAC，

在△BCM和△CAN中，

，

△BCM≌△ACN（ASA），

∴CM＝CN，

∵∠BCM+∠MCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（3）“奮進小組”認為：當點M，N分別是BE，AD的三等分點時，△MCN仍然是等腰直角三角形．這個結論不一定準確．

理由：當BM＝BE，AN＝AD時，△MCN仍然是等腰直角三角形．

當BM＝BE，DN＝AD時，△MCN不是等腰直角三角形．

故答案為不一定準確．

（4）答案不唯一．比如：當CM，CN分別是△BCE，△ACD的高時，△MCN是等腰直角三角形；

當CM，CN分別是△BCE，△ACD的角平分線時，△MCN是等腰直角三角形；

理由：只要證明△BCM≌△ACN（AAS），即可推出，∠BCM＝∠ACN，推出∠MCN＝90°，

∵CM＝CN，

∴△MCN是等腰直角三角形．