Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，點E是線段AB上的動點（不與端點重合），點F是線段AC上的動點，連接CE、EF，若在點E、點F的運動過程中，始終保證∠CEF=∠B．
（1）求證：∠AEF=∠BCE；
（2）當以點C為圓心，以CF為半徑的圓與AB相切時，求BE的長；
（3）探究：在點E、F的運動過程中，△CEF可能為等腰三角形嗎？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，

∵∠CEF=∠B，

∴∠AEF=∠BCE

（2）解：如圖1，

設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，

∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM= =3，

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CF=CM=4，

∴AF=1，

∵CA=CB∴∠B=∠C

由（1）知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

設BE長為x，則EA長為6﹣x

∴ ，

解得：x1=1，x2=5，

答：BE的長為1或5

（3）可能．如圖2，

①當CE=CF時，∠3=∠2=∠A，

∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．

②當CF=EF時，

又∵△AEF∽△BCE，

∴△AEF≌△BCE，

∴AE=BC=5，

∴BE=AB﹣5=1，

③當CF=EF時，∠1=∠2=∠A=∠B，

△FCE∽△CBA，

∴ ，

∴ = = ，

∵△AEF∽△BCE

∴ = =

∴EA= BC= ×5= ，

∴EB=AB﹣ = ．

答：當BE的長為1或 時，△CFE為等腰三角形．

【解析】（1）根據三角形的外角的性質即可得到結論；（2）設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，根據垂徑定理得到BM=AM= =3，根據勾股定理得到CF=CM=4，根據相似三角形的性質得到 ，設BE長為x，則EA長為6﹣x即可得到結論；（3）①當CE=CF時推出EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當CF=EF時，根據全等三角形的性質得到BE=AB﹣5=1，③當CF=EF時，根據相似三角形的性質即可得到結論．