Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1，0)，以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形△AOB，點C為x正半軸上一動點(OC＞1)，連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊三角形△CBD，連接DA并延長，交y軸于點E.

(1)求證：△OBC≌△ABD

(2)在點C的運動過程中，∠CAD的度數是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數;如果變化，請說明理由.

(3)當點C運動到什么位置時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)在點C的運動過程中，∠CAD的度數不會變化，理由見解析；(3) 當點C運動到(3,0)時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形.

【解析】

（1）先根據等邊三角形的性質得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）根據等邊三角形的性質即可得出；

（3）先根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，求得∠EAC=120°，進而得出以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，最后根據Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據此得到OC=1+2=3，即可得出點C的位置．

(1)證明：∵△AOB、△CBD都是等邊三角形

∴ BO=BA,BC=BD, ∠OBA=∠CBD=600

∴ ∠OBA+∠ABC = ∠CBD+∠ABC

∴ ∠OBC = ∠ABD

∴ △OBC≌△ABD

(2)解：在點C的運動過程中，∠CAD的度數不會變化，理由如下：

∵ △AOB是等邊三角形

∴ ∠BOA =∠OAB= 60°

∵ △OBC≌△ABD

∴ ∠BAD =∠BOC= 60°

∴ ∠CAD=1800-∠0AB-∠BAD= 60°

(3)解：∵ A(1，0)

∴ OA=1

∵ ∠EOA= 900,∠EAO=∠CAD= 60°

∴ ∠OEA= 30°

∴ AE=2OA=2

∵ ∠EAC=180°-∠EAO=120°

∴ 當以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE、AC是腰

∴ AE=AC=2

∴ OC=OA+AC=3

∴ 當點C運動到(3,0)時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形.