【題目】如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E.
(1)猜測∠1與∠2的關系，并說明理由；
(2)如果∠ABC是鈍角，如圖2，(1)中的結論是否還成立？
【答案】（1）∠1＝∠2，理由見解析；（2）成立，理由見解析
【解析】
（1）根據垂直的定義可得△ABD和△BCE是直角三角形，再根據直角三角形兩銳角互余可得∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°，從而得解；
（2）根據垂直的定義可得∠D=∠E=90°，然后求出∠1+∠CBE=90°，∠2+∠ABD=90°，再根據∠CBE、∠ABD是對頂角解答即可.
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.
(2)結論仍然成立．理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2.
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【題目】祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成，全橋共設13對直線型斜拉索，造型新穎，是“三晉大地”的一種象征．某數學“綜合與實踐”小組的同學把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測量．測量結果如下表．
項目 | 內容 | ||
課題 | 測量斜拉索頂端到橋面的距離 | ||
測量示意圖 |
| 說明：兩側最長斜拉索AC，BC相交于點C，分別與橋面交于A，B兩點，且點A，B，C在同一豎直平面內． | |
測量數據 | ∠A的度數 | ∠B的度數 | AB的長度 |
38° | 28° | 234米 | |
… | … | ||
（1）請幫助該小組根據上表中的測量數據，求斜拉索頂端點C到AB的距離（參考數據：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）該小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表的項目外，你認為還需要補充哪些項目（寫出一個即可）．
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【題目】已知A(α，0)、B(b，0)，點C在y軸上，且由|a＋4|＋(b－2)2＝0．
(1)若S△ABC＝6，求C點的坐標；
(2)將C向右平移，使OC平分∠ACB，點P是x軸上B點右邊的一動點，PQ⊥OC于Q點．當∠ABC－∠BAC＝60°時，求∠APQ的度數；
(3)在(2)的條件下，將線段AC平移，使其經過P點得線段EF，作∠APE的角平分線交OC的延長線于點M．當P點在x軸上運動時，求∠M－
∠ABC的值．
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【題目】某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．
活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直．（A1A2為第1根小棒）
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）設AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度數；
活動二：如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1．
數學思考：
（3）若已經擺放了3根小棒，則θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放5根小棒，求θ的范圍．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△PQR是△ABC經過某種變換后得到的圖形，其中點A與點P，點B與點Q，點C與點R是對應的點，在這種變換下：
(1)直接寫出下列各點的坐標
①A(____，_____)與P(_____，_____)；B(_____，_____)與Q(______，_____)；C(_____，______)與R(______，______)
②它們之間的關系是：______(用文字語言直接寫出)
(2)在這個坐標系中，三角形ABC內有一點M，點M經過這種變換后得到點N，點N在三角形PQR內，其中M、N的坐標M(
，6(a+b)﹣10)，N(1﹣
，4(b﹣2a)﹣6)，求關于x的不等式
﹣
＞b﹣1的解集．
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【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB>∠ABC，三條內角平分線AD，BE，CF相交于點I.
(1)若∠ABE＝25°，求∠DIC的度數；
(2)在(1)的條件下，圖中互余的角有多少對？列舉出來；
(3)過I點作IH⊥BC，垂足為H，試問∠BID與∠HIC相等嗎？為什么？
(4)G是AD延長線上一點，過G點作GP⊥BC，垂足為P，試探究∠G與∠ABC，∠ACB之間的數量關系，直接寫出結論，不需證明．
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【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F．
（1）如圖1，當EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF；
（2）如圖2，當EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，寫出EF、BE、CF之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，猜想EF、BE、CF之間又存在怎樣的數量關系，寫出猜想，不必說明理由．
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【題目】如圖，在
中，
點P、Q同時由A、B兩點出發，分別沿AC，BC的方向勻速運動，它們的速度都是每秒1cm,____秒鐘后△PCQ的面積等于△ABC的一半？
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點M、N分別是線段BC、AB上的動點，點M從點B出發以每秒
個單位的速度向點C運動，同時點N從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，當點M、N中的一點到達終點時，兩點同時停止運動．過點M作MP⊥x軸于點E，交拋物線于點P．設點M、點N的運動時間為t（s），當t為多少時，△PNE是等腰三角形？
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