Question

【題目】如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B．
（1）連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形；
（2）填空： ①當DP=cm時，四邊形AOBD是菱形；
②當DP=cm時，四邊形AOBP是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OA，AC

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，

在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠APO=30°

∴∠ACP=∠APO，

∴AC=AP，

∴△ACP是等腰三角形

（2）1；
【解析】解：（2） ①DP=1，理由如下：
∵四邊形AOBD是菱形，
∴OA=AD=OD，
∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD．
∴DP=1，
②DP= ，理由如下：
∵四邊形AOBP是正方形，
∴∠AOP=45°，
∵OA=PA=1，OP= ，
∴DP=OP﹣1
∴DP= ．
（1）利用切線的性質可得OC⊥PC．利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求得∠ACP=30°，從而求得．（2）①要使四邊形AOBD是菱形，則OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．②要使四邊形AOBP是正方形，則必須∠AOP=45°，OA=PA=1，則OP= ，所以DP=OP﹣1．