Question

【題目】定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質探究：

①如圖1，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給出證明．

②如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，FE，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；

（3）問題解決：

如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=5．求GE的長度．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，證明見解析 （2）①，證明見解析；②四邊形FMAN是矩形，證明見解析 （3）

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；

（2）①根據垂直的定義和勾股定理解答即可；②根據在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得，再根據△ABD和△ACE是等腰三角形，可得，再由（1）可得，，從而判定四邊形FMAN是矩形；

（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算即可．

（1）四邊形ABCD是垂美四邊形

連接AC、BD

∵

∴點A在線段BD的垂直平分線上

∵

∴點C在線段BD的垂直平分線上

∴直線AC是線段BD的垂直平分線

∴

∴四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）①，理由如下

如圖，已知四邊形ABCD中，，垂足為E

由勾股定理得

②四邊形FMAN是矩形，理由如下

如圖，連接AF

∵在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點

∵△ABD和△ACE是等腰三角形

由（1）可得，

∵

∴四邊形FMAN是矩形；

（3）連接CG、BE，

，即

在△AGB和△ACE中

∵

，即

∴四邊形CGEB是垂美四邊形

由（2）得

．