Question

【題目】四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個角都是90°）

（1）如圖1，點G是BC邊上任意一點（不與點B、C重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．

求證：△ABF≌△DAE；

（2）直接寫出（1）中，線段EF與AF、BF的等量關系　 　；

（3）①如圖2，若點G是CD邊上任意一點（不與點C、D重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，則圖中全等三角形是　 　，線段EF與AF、BF的等量關系是　 　；

②如圖3，若點G是CD延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，線段EF與AF、BF的等量關系是　 　；

（4）若點G是BC延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，請畫圖、探究線段EF與AF、BF的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=AF-BF；（3）①△ABF≌△DAE；EF=BF-AF；②EF=AF+BF；（2）EF=BF-AF．

【解析】試題分析：（1）根據正方形性質得出AB＝AD，∠DAB＝90°，根據垂直定義得出∠AED＝∠AFB＝90°，根據等角的余角相等求出∠ADE＝∠BAF，根據AAS證出兩三角形全等即可；

（2）根據全等得出AE＝BF，代入即可求出答案；

（3）①△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，證法與（1）（2）類似；②EF＝AF＋BF，證明過程類似；

（4）根據正方形性質得出AB＝AD，∠DAB＝90°，根據垂直定義得出∠AED＝∠AFB＝90°，求出∠ADE＝∠BAF，根據AAS證出兩三角形全等即可．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAE＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）解：線段EF與AF、BF的等量關系是EF＝AF－BF，

理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，

∴BF＝AE，

∴EF＝AF－AE＝AF－BF，

故答案為：EF＝AF－BF；

（3）①解：△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，

理由是：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAE＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE－AF＝BF－AF，

故答案為：△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF；

②解：EF＝AF＋BF，

理由是：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAF＝180°－90°＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE＋AF＝AF＋BF，

故答案為：EF＝AF＋BF；

（4）解：

與以上證法類似：△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE－AF＝BF－AF；

即EF＝BF－AF．