Question

【題目】請閱讀下面材料，并回答所提出的問題．三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證： ．

證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．
∴ ． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又 ，
． ③
．
（1）上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫出兩條即可）
（2）用三角形內角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長；

（3）我們知道如果兩個三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請你通過研究△ABD和△ACD面積的比來證明三角形內角平分線定理．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明過程中用到的定理有：

①平行線的性質定理；

②等腰三角形的判定定理；

③平行線分線段成比例定理

（2）解：∵AD是角平分線，

∴ ，

又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，

∴ ，

∴BD= （cm）

（3）解：∵△ABD和△ACD的高相等，

可得：△ABD和△ACD面積的比= ，

可得：

【解析】（1）利用“平行線的性質定理；等腰三角形的判定定理；平行線分線段成比例定理”可填出答案；（2）學會應用（1）的結論，構造比例式求線段；（3）利用面積法，再結合角平分線性質定理可構造兩個比例式，證得結論.
【考點精析】利用三角形的面積和角平分線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．