Question

【題目】已知：如圖，一次函數y=﹣2x與二次函數y=ax2+2ax+c的圖象交于A、B兩點（點A在點B的右側），與其對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標；
（2）設二次函數圖象的頂點為D，點C與點D關于x軸對稱，且△ACD的面積等于2．
①求二次函數的解析式；
②在該二次函數圖象的對稱軸上求一點P（寫出其坐標），使△PBC與△ACD相似．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+2ax+c=a（x+1）2+c﹣a，

∴它的對稱軸為x=﹣1．

又∵一次函數y=﹣2x與對稱軸交于點C，

∴y=2．

∴C點的坐標為（﹣1，2）

（2）

解：①∵點C與點D 關于x軸對稱，

∴點D的坐標為（﹣1，﹣2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面積等于2．

∴點A到CD的距離為1，C點與原點重合，點A的坐標為（0，0）．

設二次函數為y=a（x+1）2﹣2過點A，則a=2，

∴y=2x2+4x．

②設P（﹣1，t）．

交點B的坐標為（﹣3，6），D（﹣1，﹣2），C（﹣1，2），A（0，0），

則BC=2 ，PC=t﹣2，CD=4，AD= ，

①當△PBC∽△CAD時， = ，即 = ，

解得t=10，

故點P的坐標為（﹣1，10），

②當△PBC∽△ACD時， = ，即 = ，

解得t= ，

故點P的坐標為（﹣1， ），

綜上所述，點P的坐標為（﹣1，10），（﹣1， ）．

【解析】（1）把拋物線對稱軸方程x=﹣1代入直線方程，求得相應的縱坐標，易得點C的坐標；（2）①根據點的坐標的對稱性易得拋物線頂點坐標D（﹣1，﹣2），故CD=4，結合三角形的面積公式可以求得點A的坐標，將點A的坐標分別代入拋物線解析式為y=a（x+1）2﹣2，利用待定系數法求得拋物線的解析式即可；②需要分類討論：△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．