Question

【題目】定義：若兩個三角形，有兩邊相等且其中一組等邊所對的角對應相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為偏差三角形．

（1）如圖1，已知A（3，2），B（4，0），請在x軸上找一個C，使得△OAB與△OAC是偏差三角形．你找到的C點的坐標是______，直接寫出∠OBA和∠OCA的數量關系______．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，問△ABC與△ACD是偏差三角形嗎？請說明理由．

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=DC，AC與BD交于點P，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且點C到直線BD的距離是3，求△ABC與△BCD的面積之和．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC與△ACD是偏差三角形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據偏差三角形的定義，即可得到C的坐標，根據等腰三角形的性質和平角的定義，即可得到結論；

（2）在AD上取一點H，使得AH=AB，易證△CAH≌△CAB，進而可得∠D=∠CHD，根據偏差三角形的定義，即可得到結論；

（3）延長CA至點E，使AE=BD，連接BE，由SAS可證BDCEAB，得EA=BD，點B到直線EA的距離是3，根據三角形的面積公式，即可求解．

（1）∵當AC=AB時，△OAB與△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，

∴點C的坐標為（2，0），如圖1，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠OCA+∠ACB=180°，

∴∠OBA+∠OCA=180°，

故答案為：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；

（2）△ABC與△ACD是偏差三角形，理由如下：

如圖2中，在AD上取一點H，使得AH=AB．

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAH=∠CAB，

又∵ AC=AC，

∴△CAH≌△CAB（SAS），

∴CH=CB，∠B=∠AHC，

∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，

∴∠D=∠CHD，

∴CH=CD，

∴CB=CD，

∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC與△ABC不全等，

∴△ABC與△ACD是偏差三角形；

（3）如圖3中， 延長CA至點E，使AE=BD，連接BE，

∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，

∴∠BDC=∠BAE，

又∵AB=CD，

∴BDCEAB（SAS），

∴EA=BD，

∵點C到直線BD的距離是3，

∴點B到直線EA的距離是3，

∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=（AC+EA）×3 =（AC+BD）×3 =×9×3=．