Question

【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，3），直線 與BC相交于點(diǎn)D，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．
（3）若點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，對(duì)稱軸與OD、x軸分別交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，

∵點(diǎn)D在直線y= x上，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（9，3），

將點(diǎn)D（9，3）、點(diǎn)A（10，0）代入拋物線可得： ，

解得： ，

故拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x．

（2）

解：∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，3），點(diǎn)A坐標(biāo)為（10，0），

∴OA=10，OD= =3 ，AD= = ，

從而可得OA2=OD2+AD2，

故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）

解：①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，

此時(shí)∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP= OA=5，

即可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）．

②過點(diǎn)O作OD的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，代入直線方程可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 ，

故可求得OM= ，

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得 = ，即 = ，

解得：MP′= ，

又∵M(jìn)N=點(diǎn)M的縱坐標(biāo)= ，

∴P′N= ﹣ =15，

即可得此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（5，﹣15）．

綜上可得存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（5，﹣15）．

【解析】（1）根據(jù)題意可得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，從而將點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式．（2）分別求出OA、OD、AD的長(zhǎng)度，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．（3）①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，②過點(diǎn)O作OD的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質(zhì)分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．