Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=30°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵OA=OC．

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠MAC=∠OAC，

∴∠MAC=∠OCA，

∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，

∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，

∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴S陰=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）

= ×4×4 ﹣（ ﹣ ×82）

=24 ﹣ π

【解析】（1）先證明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解決問題．（2）根據S陰=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）計算即可．