Question

【題目】問題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．

（1）【發現證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF=BE+FD，請你利用圖1證明上述結論．
（2）【類比引申】
如圖2，四邊形ABCD中∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足什么關系時，仍有EF=BE+FD
（3）【探究應用】如圖3，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成的ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ，米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結果取整數，參考數據： =1.41， =1.73）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF．

（2）

理由如下：如圖（2），延長CB至M，使BM=DF，連接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．

故答案是：∠BAD=2∠EAF．

（3）

如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，連接AF，過A作AH⊥GD，垂足為H．

∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，

∴∠BAE=60°．

又∵∠B=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=80米．

根據旋轉的性質得到：∠ADG=∠B=60°，

又∵∠ADF=120°，

∴∠GDF=180°，即點G在 CD的延長線上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40 ，

故∠HAF=45°，

∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°

從而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°

又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF

∴根據上述推論有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），

即這條道路EF的長約為109米．

【解析】【發現證明】根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．【類比引申】延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究應用】利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，只要再證明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．