Question

在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直角梯形AOCD的頂點A的坐標為
（0，），點D的坐標為（1，），點C在軸的正半軸上，過點O且以點D為頂點的拋物線經過點C，點P為CD的中點．

（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；
（2） 在軸右側的拋物線上是否存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與軸、直線OP相切．若存在，請求出滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M為線段OP上一動點（不與O點重合），過點O、M、D的圓與軸的正半軸交于點N．求證：OM+ON為定值．
（4）在軸上找一點H，使∠PHD最大．試求出點H的坐標．

Answer 1

（1） （2） （3）H                               

試題分析：解：(1) 設拋物線的解析式為，
將（0，0）代入，得 ，
∴拋物線的解析式為即       2分
                                                      4分

（2）若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點重合，此時Q₁；           
若⊙Q在直線OP下方，與軸、直線OP切于E、F，
則QE=QF，QE⊥軸，QF⊥OP
∴OQ平分∠EOF
∵∠EOF="120°"   ∴∠FOQ=60°
∵∠POC=30°，則∠QOC=30°                                  
設Q，則
解得（舍去），      ∴              8分
（3）∵在過點O、M、D的圓中，有∠MOD=∠NOD ∴      ∴MD= ND
易得OD平分∠AOP，DA⊥軸，DP⊥OP ∴DA= DP
可證得△NAD≌△MPD（HL）  ∴MP= AN  
∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，
則OM+ON=，即OM+ON為定值．                              11分
（4）作過P、D兩點且與軸相切于點H的圓S，
則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．                         12分
設，則由HS=SD=SP
可得，
H                                14分

點評：此題比較綜合，把幾何圖形和二次函數結合起來考察學生，要求學生都知識的掌握程度比較高，解答過程稍微比較復雜，是區分學生成績的題目。