Question

【題目】探索與發(fā)現(xiàn)

探索：如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的點(diǎn)B坐標(biāo)（4，4），點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)E，連接BE，過(guò)E作DE⊥BE交OC于點(diǎn)D．

（1）證明：BE＝DE．

小明給出的思路為：過(guò)E作y軸的平行線交AB、x軸于點(diǎn)F、H．請(qǐng)完善小明的證明過(guò)程．

（2）若點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)E坐標(biāo)為　 　．

若點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)E坐標(biāo)為　 　．

發(fā)現(xiàn)：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)（5，3），點(diǎn)D坐標(biāo)（3，0），找一點(diǎn)E，使得△BDE為等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）；點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．

【解析】

（1）證出EH=BF，由ASA證明△BEF≌△EDH，得出BE=DE即可；
（2）連接OE，由正方形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：OE=BE，證出OE=DE，由等腰三角形的性質(zhì)得出OH=DH=OD=1.5，由全等三角形的性質(zhì)得出EF=DH=1.5，求出FH=OA=4，得出EH=2.5，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1.5，2.5）；若點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0），同理可得則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1.5a，2.5a）．
發(fā)現(xiàn)：分兩種情況：

①當(dāng)BD為等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）或（2，5）或（6，-2）或（8，1）；
②當(dāng)BD為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCO是正方形，

∴AB∥OC，∠OAB＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠BAC＝∠OCA＝45°，OA∥BC，

∵FH∥AB，

∴FH∥OA，

∴FH⊥OC，∠HEC＝∠OAC＝45°＝∠OCA，∠BFH＝∠OAB＝90°，∠DHE＝∠AOC＝90°，

∴EH＝CH＝BF，

∵DE⊥BE，FH⊥AB，

∴由角的互余關(guān)系得：∠EBF＝∠DEH，

在△BEF和△EDH中，，

∴△BEF≌△EDH（ASA），

∴BE＝DE；

（2）解：連接OE，如圖1所示：

∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0），

∴OD＝3，

由正方形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：OE＝BE，

∵BE＝DE，

∴OE＝DE，

∵FH⊥OC，

∴OH＝DH＝OD＝1.5，

∵△BEF≌△EDH，

∴EF＝DH＝1.5，

∵FH＝OA＝4，

∴EH＝4﹣1.5＝2.5，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1.5，2.5）；

若點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0），同理可得，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0.5a，4﹣0.5a）；

故答案為：（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）．

發(fā)現(xiàn)：分兩種情況：

①當(dāng)BD為等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)時(shí)，

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）；

②當(dāng)BD為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)時(shí)，

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；

綜上所述：△BDE為等腰直角三角形，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．