Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），連接CP，過點P作PQ⊥CP交AD邊于點Q，連接CQ．

（1）當△CDQ≌△CPQ時，求AQ=_________；

（2）取CQ的中點M，連接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ=___________．

Answer 1

【答案】 ２

【解析】

（1）由全等三角形的性質(zhì)得到DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理求解即可．

（2）過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，先證得△MDF≌△PME，得出ME=DF=，然后用梯形的中位線的性質(zhì)定理求解即可．

（1）∵△CDQ≌△CPQ，

∴DQ=PQ，PC=DC，

∵AB=DC=5，AD=BC=3，

∴PC=5，

在RT△PBC中，，

∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，

設AQ=x，則DQ=PQ=3﹣x，

在RT△PAQ中，，

解得，∴AQ=．

（2））如圖2，過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，

∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中點，根據(jù)直角三角形直線的性質(zhì)求得DM=PM=QC，

在△MDF和△PME中，∵∠MDF=∠PME，∠DFM=∠MEP，DM=PM，

∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=DC=，

∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位線，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．