Question

【題目】如圖，以點(diǎn)為圓心的圓，交軸于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，交軸于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的下方)，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，得到 .

(1)求，兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，，并判斷四邊形的形狀(不必證明)，求出點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)動(dòng)直線從與重合的位置開始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與重合時(shí)停止，設(shè)直線 與的交點(diǎn)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， .問:在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否變化?若不變，求出的度數(shù);若變化，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)(1,0)；(2) 是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中， 的大小不變，始終等于120°.

【解析】

（1）連接PA，運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由于⊙P是中心對(duì)稱圖形，顯然射線AP與⊙P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M，連接MB、MC即可；易證四邊形ACMB是矩形；過點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，易證△MHP≌△AOP，從而求出MH、OH的長，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，從而得到∠MBG=60°，進(jìn)而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．

（1）連接PA，如圖1所示．

∵PO⊥AD，

∴AO=DO．

∵AD=2 ，

∴OA=．

∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），

∴OP=1．

∴PA==2．

∴BP=CP=2．

∴B（-3，0），C（1，0）．

（2）連接AP，延長AP交⊙P于點(diǎn)M，連接MB、MC．

如圖2所示，線段MB、MC即為所求作．

四邊形ACMB是矩形．

理由如下：

∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得，

∴四邊形ACMB是平行四邊形．

∵BC是⊙P的直徑，

∴∠CAB=90°．

∴平行四邊形ACMB是矩形．

過點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示．

在△MHP和△AOP中，

∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，

∴△MHP≌△AOP．

∴MH=OA=，PH=PO=1．

∴OH=2．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，）．

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變．

∵四邊形ACMB是矩形，

∴∠BMC=90°．

∵EG⊥BO，

∴∠BGE=90°．

∴∠BMC=∠BGE=90°．

∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，

∴QM=QE=QB=QG．

∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示．

∴∠MQG=2∠MBG．

∵∠COA=90°，OC=1，OA=，

∴tan∠OCA=，

∴∠OCA=60°．

∴∠MBC=∠BCA=60°．

∴∠MQG=120°．

∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變，始終等于120°．