Question

【題目】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系．

猜想結論：（要求用文字語言敘述） 寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．

（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；

（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

試題解析：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．

證明：∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，求證：.

證明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，=， =，∴；

（3）連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=，BE=，∴=73，∴GE=．