Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是邊BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四邊形AEPF的面積=△ABC的面積的一半，④當EF最短時，EF=AP，上述結論始終正確的個數為（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S四邊形AEPF=S△APC，然后解答即可．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵點P為BC的中點，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．

∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．

在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四邊形AEPF=S△APC，∴S四邊形AEPF=S△ABC，根據等腰直角三角形的性質，EF=PE，所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，此時，EF最短；故①②③④正確．

故選D．