Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．

（1）證明：AE=CE=BE；

（2）若DA⊥AB，BC=6,P是直線DE上的一點．則當P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當點P與點E共點時，PB+PC的值最小，最小值為12．

【解析】

（1）根據等邊三角形“三線合一”的性質證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE=CE，根據等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質以及等量代換求得∠BCE=∠B；最后根據等角對等邊證得CE=BE，所以AE=CE=BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代換知PB+PC=PB+PA；根據兩點之間線段最短可知，當點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最�。�

解：（1）∵△ADC是等邊三角形，DF⊥AC，

∴DF垂直平分線段AC，

∴AE＝EC， ∴∠ACE＝∠CAE， ∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，

∴∠BCE＝∠B， ∴CE＝EB， ∴AE＝CE＝BE．

（2）連接PA，PB，PC．

∵DA⊥AB， ∴∠DAB＝90° ，∵∠DAC＝60°，

∴∠CAB＝30°， ∴∠B＝60°，

∴BC＝AE＝EB＝CE＝6． ∴AB＝12，

∵DE垂直平分AC， ∴PC＝AP， ∴PB+PC＝PB+PA，

∴當PB+PC最小時，也就是PB+PA最小，即P，B，A共線時最小，

∴當點P與點E共點時，PB+PC的值最小，最小值為12．