Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，連接BD。

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若tan∠ABD=2，CE=1，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）b=3或b=

【解析】分析：（1）連接OD，欲證明DE是 O的切線，只要證明OD⊥DE即可．

（2）利用相似三角形的判定和性質求出AB，利用勾股定理求出BD，進而解答即可．

本題解析：

（1）證明：連接OD。

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC。

∴∠ODA=∠DAC。∴OD∥AE。∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線.

（2）解：連接CD，連接DO并延長交⊙O于點F。

∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°。∴∠ADB=∠E。

又∵∠BAD=∠DAC，∴△ABD∽△ADE。

∵DF是⊙O直徑，∴∠FCD=90°，∴∠F=∠DAE，

∴∠F+∠FDC=90°，∠CDE+∠FDC=90°，∴∠F=∠CDE=∠DAE，

∴△DCE∽△ADE，∴∠ABD=∠DCE。根據tan∠ABD=2，∴tan∠DCE=2。

在RT△DCE中，CE=1，∴DE=2。

在RT△ADE中，同理可得AE=4，由勾股定理可知AD=2。

在RT△ABD中，同理可得BD=，由勾股定理可知AB=5。

所以⊙O的半徑為2.5。