Question

【題目】如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD

∴∠GAD=∠EAB，

∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，

∴AG=AE，AB=AD，

在△GAD和△EAB中，

，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB=90°，

∴∠AMB+∠ABM=90°，

又∵△AEB≌△AGD，

∴∠GDA=∠EBA，

∵∠HMD=∠AMB（對頂角相等），

∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，

∴EB⊥GD．

（3）解：連接AC、BD，BD與AC交于點O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥CG，

∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，

在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，

OA= ，

即OG=OA+AG= + =2 ，

∴EB=GD= ．

【解析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB，即EB=GD；（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE則在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；（3）設BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．