Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由；

（2）若CE=8，CF=6，求OC的長

（3）連結AE，AF，當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF；（2）5；（3）AC的中點時四邊形AECF是矩形，理由見解析

【解析】

（1）根據CF平分∠ACD，且MN∥BD可證OF=OC，同理可證OE=OC，即可得OE=OF；
（2）根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質可求∠ECF=90°，根據勾股定理可求EF的長，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，可得OC的長；
（3）當點O在AC的中點時，由（1）知OE=OF，可證四邊形AECF是平行四邊形，再根據∠ECF=90°，可證四邊形AECF是矩形．

解：（1）OE=OF，理由如下：

∵CF平分∠ACD，且MN∥BD
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO
∴OF=OC
同理可證：OC=OE
∴OE=OF
（2）由（1）知：OF=OC=OE
∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°
∴EF＝=＝10

∴OC＝EF＝5
（3）當點O移動到AC中點時，四邊形AECF為矩形
理由如下：
∵當點O移動到AC中點時
∴OA=OC且OE=OF
∴四邊形AECF為平行四邊形
又∵∠ECF=90°
∴四邊形AECF為矩形