Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC
其中正確的是（ ）

A.①②③④
B.②③
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】C
【解析】∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴BE=2AE；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正確；

∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，

∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，

∴∠PFD≠∠PDB，

∴△PFD與△PDB不會相似；故③錯誤；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴ ，

∴DP2=PH·PC，故④正確；

故答案為：C．

根據正方形的性質，得到四邊相等，四角相等，得到BE=2AE；由已知條件得到△DFP∽△BPH，△DPH∽△CPD；得到比例得到DP2=PH·PC；判斷即可.