Question

【題目】如圖，凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求證：ABCD是平行四邊形。

Answer 1

【答案】詳見解析.

證明：假設ABCD不是平行四邊形，即AB≠CD，

不妨設AB＞CD．在AB邊上取點E，使AE=CD，則AECD是平行四邊形，

∴AD=CE，

由AB+BC=CD+AD，

即（AE+EB）+BC=CD+AD，

∴EB+BC=CE，與三角形不等式EB+BC＞CE矛盾，

因此，ABCD必是平行四邊形。

【解析】試題分析：

利用已知條件不能直接證明四邊形ABCD是平行四邊形，故考慮用反證法，假設四邊形ABCD不是平行四邊形，則可設AB＞CD，所以在AB上取點E，使AE=CD，然后經過推理得出矛盾，從而假設不成立，故原命題成立.

試題解析：

證明：假設ABCD不是平行四邊形，即AB≠CD，

不妨設AB＞CD．在AB邊上取點E，使AE=CD，則AECD是平行四邊形，

∴AD=CE，

由AB+BC=CD+AD，

即（AE+EB）+BC=CD+AD，

∴EB+BC=CE，與三角形不等式EB+BC＞CE矛盾，

因此，ABCD必是平行四邊形。