Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使BF=DF，若CD=CF，求證：

（1）點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)F作FE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)畫出圖形并證明BD=6CE．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵CF=CD，

∴∠CFD=∠D，

∴∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°，

∵FB=FD，

∴∠FBD=∠D=30°，

∴BF平分∠ABC，

∴AF=CF，即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)

（2）解：如圖，

在Rt△EFC中，CF=2CE，

而CD=CF，

∴CF=2CE，

在Rt△BCF中，BC=2CF，

∴BC=4CE，

∴BD=6CE．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，則BF平分∠ABC，于是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；（2）如圖，過點(diǎn)F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CF=2CE，而CD=CF，則CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．