Question

【題目】已知拋物線的頂點是C（0，a）（a＞0，a為常數），并經過點（2a，2a），點D（0，2a）為一定點．

（1）求含有常數a的拋物線的解析式；
（2）設點P是拋物線上任意一點，過P作PH丄x軸．垂足是H，求證：PD=PH；
（3）設過原點O的直線l與拋物線在笫一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB．且S△ABD=4 ．求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=kx2+a，

∵經過點（2a，2a），

4a2k+a=2a，

∴k= ，

則拋物線的解析式為：y= x2+a

（2）

解：連接PD，設拋物線上一點P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，

在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y﹣2a）2+x2=y2﹣4ay+4a2+x2，

∵y= x2+a，

∴x2=4a×（y﹣a）=4ay﹣4a2，

∴PD2=y2﹣4ay+4a2+4ay﹣4a2=y2=PH2，

∴PD=PH

（3）

解：過B作BE⊥x，AF⊥x，

由（2）的結論：BE=DB，AF=DA，

∵DA=2DB，

∴AF=2BE，

∴AO=2OB，

∴B是OA的中點，

∵C是OD的中點，

連接BC，∴BC= = =BE=DB，

過B作BR⊥y軸，

∵BR⊥CD，

∴CR=DR，OR=a+ = ，

∴ = x2+a，

∴x2=2a2，

∵x＞0，

∴x= a，

∴B（ a， ），AO=2OB，

∴S△OBD=S△ABD=4 ，

∴ ×2a× a=4 ，

∴a2=4，

∵a＞0，

∴a=2

【解析】（1）根據拋物線的圖象假設出解析式為y=kx2+a，將經過點（2a，2a），代入求出即可；（2）根據勾股定理得出PD2=DG2+PG2 ， 進而求出PD=PH；（3）利用（2）中結論得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中點，進而得出S△OBD=S△ABD=4 ，即可得出a的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．