Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖， ∵點M，N分別是AB，AC的中點，
∴MN= BC，
∴當BC取得最大值時，MN就取得最大值，當BC是直徑時，BC最大，
連接BO并延長交⊙O于點C′，連接AC′，
∵BC′是⊙O的直徑，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′= = =5 ，
∴MN最大= ．
所以答案是： ．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形中位線定理和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．