Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為 的中點，P是直徑MN上一動點．

（1）利用尺規作圖，確定當PA+PB最小時P點的位置（不寫作法，但要保留作圖痕跡）．
（2）求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示，點P即為所求；

（2）

解：由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，

∵A′點為點A關直線MN的對稱點，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B為 的中點，

∴ = ，

∴∠BON=∠AOB= ∠AON= ×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4，

∴OA′=OB= MN= ×4=2，

∴Rt△A′OB中，A′B= =2 ，即PA+PB的最小值為2

【解析】（1）作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，與MN的交點即為點P；（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據勾股定理即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對軸對稱-最短路線問題的理解，了解已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．