Question

【題目】如圖，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點E，

(1)如圖1，過點E作DE∥BC交AB于點D，求證：△BDE為等腰三角形；

(2)如圖2，延長BE到D，∠ADB =∠ABC， AF⊥BD于F，AD=2,BF=3,求DF的長

(3)如圖3，若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=∠ABC，判斷BF、CD、DF的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF=1; （3）BF=CD+DF，理由見解析.

【解析】

（1）由角平分線和平行線的性質可得到∠BDE=∠DEB，可證得結論；

（2）作AH=AD,可得AH=BH=AD=2，從而HF= 1，在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

得HF=FD=1;

（3）延長CD到M，使得CM=BD，連接AM，過點A作AN⊥CM于點N，則△ABD≌△ACM，根據全等三角形的性質可得出AD=AM，∠ADB=∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可證出△ADF≌△ADN，根據全等三角形的性質可得出DF=DN=MN，再結合BD=CM即可找出BF=CD+DF．

（1）證明：

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，

∴BD=ED，

∴△DBE為等腰三角形；

（2）作AH=AD,

∴∠AHD=∠D,

∴∠1=∠AHD,

∵∠AHD=∠1+∠3，

∴AH=BH=AD=2，

∴HF=BF-BH=3-2=1，

∵在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

∴HF=FD=HD,

∴DF=HF=1;

（3）解：在圖中，延長CD到M，使得CM=BD，連接AM，過點A作AN⊥CM于點N，

∵BE平分∠ABC，∠ACD=∠ABC，

∴∠ACM=∠ABD．

在△ABD和△ACM中，

，

∴△ABD≌△ACM（SAS），

∴AD=AM，∠ADB=∠AMC，

∴∠AMD=∠ADM，

∴∠ADF=ADN．

∵AN⊥DM，

∴DN=MN．

在△ADF和△ADN中，

，

∴△ADF≌△ADN（AAS），

∴DF=DN=MN．

∵BD=CM，

∴BF=BC-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF．

即BF=CD+DF．