Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是矩形，AE與BC交于點M，CF與AD交于點N．

（1）求證：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF滿足何種關系時，四邊形AMCN是菱形，證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC，

∵四邊形AECF是矩形，∴AE∥CF，

∴四邊形AMCN是平行四邊形，

∴AM=CN，

在Rt△ABM和Rt△CDN中，

∵ ，

∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）

（2）

解：當AB=AF時，四邊形AMCN是菱形，

理由：∵四邊形ABCD、AECF是矩形，

∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°，

∴∠BAD﹣∠NAM=∠EAF﹣∠NAM，即∠BAM=∠FAN，

在△ABM和△AFN中∠BAM=∠FAN，AB=AF，∠B=∠F

∵ ，

∴△ABM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

由（1）知四邊形AMCN是平行四邊形，

∴平行四邊形AMCN是菱形．

【解析】（1）利用矩形的性質結合平行四邊形的判定于性質得出AM=CN，進而得出Rt△ABM≌Rt△CDN；（2）利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AFN（ASA），進而得出四邊形AMCN是菱形．