Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（2，0）、B（﹣4，0），與y軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BD，點P在拋物線的對稱軸上，以Q為平面內一點，四邊形PBQD能否成為矩形？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由；

（3）在拋物線上有一點M，過點M、A的直線MA交y軸于點C，連接BC，若∠MBO=∠BCO，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）滿足條件的P的坐標為（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）；（3）滿足條件的點M坐標（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）或（﹣1+，4）.

【解析】(1)、利用待定系數法求出函數解析式；(2)、分BD為矩形的邊和BD為矩形的對角線兩種情況分別求出點P的坐標；(3)、設M（m，m2+m﹣4），設直線AM的解析式為y=kx+b，然后求出直線AM的解析式，然后分點M所在的象限，證明出△MNB和△BOC相似，從而分別得出點M的坐標．

(1)、由題意，解得，∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣4．

（2）如圖1中，當BD為矩形的邊時，∵直線BD的解析式為y=﹣x﹣4，

∴直線BP的解析式為y=x=4，直線 DP′的解析式為y=x﹣4，

可得P（﹣1，3），P′（﹣1，﹣5）．

當BD為矩形的對角線時，設P（﹣1，m），BD的中點N（﹣2，﹣2），由BN=P″N，

可得12+（m+2）2=（2）2， 解得m=﹣2+或﹣2﹣，

∴P″（﹣1，﹣2+），或（﹣1．﹣2﹣），

∴要使四邊形PBQD能成為矩形，滿足條件的點P坐標為（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）．

綜上所述，滿足條件的P的坐標為（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）．

（3）設M（m，m2+m﹣4），設直線AM的解析式為y=kx+b，則有，

解得，∴直線AM的解析式為y=x﹣m﹣4，∴C（0，﹣m﹣4）．

①點M在第二象限顯然不可能，當點M在第三象限時，如圖2中，作MN⊥OB于N．

∵∠MBN=∠BCO，∠MNB=∠BOC=90°，∴△MNB∽△BOC，∴，

∴=，∴m=﹣2或0．∴M（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）．

②當點M在第一象限時，同法可得=，整理得：m2+2m﹣16=0，

∴m=﹣1+或﹣1﹣（舍棄），∴M（﹣1+，4），

③當點M在第四象限時，不存在，

綜上所述，滿足條件的點M坐標（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）或（﹣1+，4）．